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Le théorème d'approximation de Weierstrass
MATH007Lesson 3
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Imaginez que vous modélisez la croissance d'une culture bactérienne où la fonction biologique exacte est trop complexe pour être calculée en temps réel. Selon Weierstrass, si votre courbe de croissance est continue, vous pouvez trouver un polynôme simple qui imite la courbe si étroitement que la différence est négligeable. Toutefois, si vous vous fiez à un polynôme de Taylor basé uniquement sur les données du « jour 0 », vos prévisions pour le « jour 10 » seront probablement catastrophiquement fausses. C'est pourquoi nous cherchons des techniques d'interpolation globale.

La puissance des polynômes algébriques

Les polynômes algébriques sont les « approximants » privilégiés en mathématiques car ils sont faciles à évaluer, dériver et intégrer à l'aide d'opérations arithmétiques simples.

Définition : Polynômes algébriques

Fonctions de la forme :

$$P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$$

Le théorème d'approximation de Weierstrass

Ce théorème sert de fondement théorique à l'analyse numérique en garantissant qu'une fonction continue définie sur un intervalle fermé et borné peut être approchée avec une précision arbitrairement élevée.

Théorème 3.1

Soit $f$ une fonction définie et continue sur $[a, b]$. Pour tout $\epsilon > 0$, il existe un polynôme $P(x)$ tel que :

$$|f(x) - P(x)| < \epsilon, \text{ pour tout } x \text{ dans } [a, b]$$

Interpolation versus approximation locale

Bien que les polynômes de Taylor soient très précis en un point donné, ils divergent souvent rapidement lorsque l'on s'éloigne de ce point (le piège de la précision locale). L'interpolation cherche à utiliser des points de données sur tout l'intervalle afin d'obtenir un ajustement global satisfaisant la condition de Weierstrass.

🎯 Principe fondamental
Le théorème de Weierstrass est un théorème d'existence—il prouve qu'un polynôme existe, mais ne fournit pas ses coefficients. Le processus d'ajustement d'une fonction aux points de données spécifiques pour trouver ces polynômes est connu sous le nom de interpolation.